Maths for all

A few steps to Mathematics

Αlice in wonderland / 1

****

Aν μπορείς να δεις το 1 , τότε μπορείς να δεις και τo 1+0i

Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός που αποτελείται από το πραγματικό και από το φανταστικό του κομμάτι και γράφεται ως z=a+bi

Ορίζουμε ως Re(z)=a , δηλαδή πραγματικό κομμάτι του z &

Im(z)=b και φανταστικό κομμάτι του z

όπου τα a,b είναι πραγματικοί αριθμοί.

Φυσική συνέπεια, κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή αυτή, αρκεί το φανταστικό του τμήμα να είναι ίσο με 0, δηλαδή είτε γράψουμε 3 είτε γράψουμε 3+0i είναι ακριβώς το ίδιο

Η ιστορία των μαθηματικών είναι γεμάτη επεκτάσεις, για να λυθεί η 3x+1=0 , η επέκταση έγινε στο Ζ , και πρσοτέθηκαν οι αρνητικοί αριθμοί

Για να μπορέσει να λυθεί η x^^2 + 1 =0 ,η επέκταση γίνεται σε ένα υπερσύνολο που περιλαμβάνει και τους φανταστικούς αριθμούς , το σύνολο των μιγαδικών αριθμών, C

Το  i είναι μια κατεξοχήν ευρωπαϊκή σύλληψη που χρωστά τη γέννησή της στον Ιταλό Μαθηματικό Gerolamo Cardano όταν προσπαθούσε να επιλύσει την πολυωνυμική εξίσωση 3ου βαθμού

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\,
Στην προσπάθεια αυτή ο Cardano χρησιμοποίησε την -1 ονομάζοντάς την i , δημιουργώντας με τη σειρά του μια ομάδα αριθμών που τους έδωσε την ονομασία “fictitious”
Οι πολυωνυμικές εξισώσεις τρίτου βαθμού είναι της μορφής 2x3- -x25x+4=0. Στην προσπάθειά μας να βρούμε λύσεις σε τέτοιες εξισώσεις προσπαθούμε να καταλήξουμε σε γνωστές εξισώσεις χρησιμοποιώντας το θεώρημα που λέει, ότι οι ακεραίες λύσεις μια πολυωνυμικής εξίσωσης θα βρίσκονται ανάμεσα στους διαιρέτες τους σταθερού της όρου ( στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι το -1 )
Αν βρούμε μια τέτοια ρίζα , τότε με το σχήμα του Horner ή με κανονική διαίρεση πολυωνύμων, επαναδιατυπώνουμε την εξίσωση ως γινόμενο του παράγοντα που την διαιρεί και ενός τριωνύμου ( δευτεροβάθμιας εξίσωσης ).
Εκεί , αποφασίζουμε αν η δευτεροβάθμια είναι in casus irreducibilis ανάλογα με την διακρίνουσα του τριωνύμου ( της δευτεροβάθμιας ).
Αν η διακρίνουσα D >0 τότε η δευτεροβάθμια έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες
Αν D=0, η δευτεροβάθμια έχει μια ρίζα διπλή γιατί είναι τέλειο τετράγωνο
και αν D<0 η δευτεροβάθμια έχει μιγαδικές ρίζες της μορφής a+bi
Στο δικό μας παράδειγμα η 2x3- -x25x+4= ( x-1)(2x2+x-4) και ο αν οι ρίζες μας θα είναι μιγαδικές ή πραγματικές θα μας το δώσει η D=(+1)2-4*2*(-4)=1+32=33>0 ( όπου
-1 ο συντελεστής του x, +2 του x2 και -4 ο σταθερός όρος , D=β2-4αγ
Εδώ οι ρίζες είναι και οι τρεις πραγματικές. Αν η D<0 αποφασίζουμε εμείς για το αν θα προχωρήσουμε στην εύρεση μιγαδικών ριζών, ανάλογα με τη χρήση που σκοπεύουμε να τους κάνουμε στη συνέχεια.
Σύφωνα με τους Cardano & Tartaglia , η τεχνική αυτή συμφωνεί με το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας στη διατύπωσή του ότι με τη χρήση των φανταστικών αριθμών κάθε πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού έχει 3 ρίζες οπωσδήποτε.
Ο επόμενος που ασχολήθηκε μαζί τους ήταν ο Rafael Bombelli που όρισε το πώς γίνονται οι 4 πράξεις των μιγαδικών και την ολοκλήρωση έκανε ο William Hamilton απεικονίζοντάς τους στο χώρο
Πριν τους κατανοήσουμε καλύτερα γιατί πραγματικά οι πράξεις τους έχουν ενδιαφέρον, ας πούμε ότι η χρήση τους είναι ιδιαίτερη στους μηχανικούς, στον ηλεκτρομαγνητισμό, στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και στη θεωρία του χάους και όπου στη μαθηματική βιβλιογραφία συναντάτε τη λέξη complex σημαίνει ότι για να γίνει θεμελίωση έχει γίνει χρήση μιγαδικών

Πώς γίνονται οι τέσσερεις πράξεις;

΄Έστω λοιπόν ότι έχουμε τους z=a+bi και w=x+yi

Για να ορίσουμε z+w θα έχουμε : ( a+bi)+(x+yi) = ( a+x)+i(b+y)

και z-w = (a+bi)-(x+yi)=(a-x)+(b-y)i

Δηλαδή αν z= 4+3i & w= 5-6i, z+w=(4+5)+(3-6)i => z+w=9-3i &

z-w=(4+3i)-(5-6i)=(4-5)+(3-(-6))i => z-w = -1+9i

δηλαδή z+w=Re(z)+Re(w) +i(Im(z)+Im(w)) & z-w=(Re(z)-Re(w))-((Im(z)-Im(w))i

Ο πολλαπλασιασμός έχει μια σχετική πολυπλοκότητα , γίνεται με επιμεριστική ιδιότητα και θέλει προσοχή γιατί το I υψώνεται στο τετράγωνο και δίνει ένα απροσδόκητο -1 που μπερδεύει στην αρχή δεδομένου ότι συνειδησιακά έχουμε συνδέσει τα τετράγωνα με θετικές ποσότητες ( και όπως έλεγε και ένας καθηγητής μου στο πολυτεχνείο, όποιος ξεπέρασε εύκολα αυτό το φράγμα του τετράγωνου με το θετικό δηλαδή, βρέθηκε σε αυτά εδώ τα έδρανα και η ψυχική του υγεία τίθεται υπό αμφισβήτηση )

Για να μην το κουράζουμε και πολύ, zw = ( a+bi)(x+yi)= ax – by +(ay+bx)i

Όσον αφορά τη διαίρεση δύο μιγαδικών, εδώ θα σταθούμε λίγο και θα συζητήσουμε το θέμα του συζυγούς μιγαδικού . Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = a+bi, υπάρχει ο συζυγής του που είναι ο

z=a-bi και συμβολίζεται με μια παύλα πάνω από το z

Η φιλοσοφία είναι ότι στα μαθηματικά στα πηλίκα δεν θέλουμε στους παρονομαστές τετραγωνικές ρίζες και μιγαδικούς, οπότε γίνεται ένας πολλαπλασιασμός μεταξύ συζυγών και η διαίρεση ανάμεσα στο z και το w παίρνει τη μορφή , z/w = ( a+bi)/ (x+yi) = (a+bi)(x-yi)/(x+yi)(x-yi) =

(ax+by)/(x2+y2) + i((ay+bx)/(x2+y2))

Στο επόμενο και πάλι μιγαδικοί, γιατί πραγματικά παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον

Advertisements

Σεπτεμβρίου 26, 2009 - Posted by | Uncategorized |

12 Σχόλια »

  1. Πάντα θεωρούσα τους μιγαδικούς το πιο περίπλοκο κομμάτι των μαθηματικών.Μέχρι που προσπάθησα να διαβάσω τον εκλογικό μας νόμο…(Εδώ σε θέλω Cardano!)

    Σχόλιο από selitsanos | Σεπτεμβρίου 30, 2009

  2. Ωχριά και ο μακαρίτης ο Cardano και οι μιγαδικοί μπροστά στις συλλήψεις και επινοήσεις του εκλογικού νόμου !!!
    Για να σας είμαι ειλικρινής η τελευταία φορά που ασχολήθηκα με τον εκλογικό νόμο ήταν το 1985, έκτοτε οι δρόμοι μας χώρισαν οριστικά
    Οι μιγαδικοί είναι πολύ ιδιαίτεροι και θεωρείται ένα από τα γοητευτικότερα κομμάτια των μαθηματικών
    Θα δείτε στη συνέχεια που θα επεκταθούμε στους γεωμετρικούς τους τόπους και εκεί γίνονται πιο κατανοητοί
    Καλό σας βράδυ

    Σχόλιο από mathsforall | Οκτώβριος 1, 2009

  3. Ε οχι χαρα μου που θα κατσω να διαβασω ξανα μιγαδικους! Παντως πρεπει να ομολογησω οτι παρ’ολο που ακολουθουν τους κανονες της αλγεβρας, ποτε δεν τους ειδα με αγαπη, ασε που δε τους βρισκω γοητευτικους. Θα περιμενω να προχωρησουμε στο επομενο κεφαλαιο τους γεωμετρικους τοπους που ηταν ο ασσος στο μανικι μου οταν ημουν παιδουλα δατ ιζ! Εκει θα αναπολησω με νοσταλγια.

    Σχόλιο από despinarion | Οκτώβριος 3, 2009

  4. @ despinarion,

    εμένα άρχισαν να μου αρέσουν από τη στιγμή που έμαθα τον τύπο του de Moivre , με την τριγωνομετρική τους μορφή. ΟΙ γεωμτερικοί τόποι είναι μαγεία τόσο στους μιγαδικούς όσο και στις κωνικές τομές. Στην Ευκλείδειο πάλι , δεν μου άρεσαν ποτέ, ασφυκτιούσα
    Μόλις μπορέσω θα στρωθώ να κάνω ανάρτηση για τους γ.τ
    Πολλά φιλιά δεσποινάριο, θα περάσω να στα πω αυτοπροσώπως

    Σχόλιο από mathsforall | Οκτώβριος 8, 2009

  5. Πολύ καλή προσπάθεια αν και αργείτε να την ενημερώσετε

    Σχόλιο από tangent | Οκτώβριος 9, 2009

  6. http://www.helleniclivecasino.com/

    Σχόλιο από Livecasino | Μαρτίου 7, 2010

  7. Αυτό που δεν μπόρεσα να καταλάβω ποτέ στα μαθηματικά είναι οι μετασχηματισμοί (Fourier και Laplace). Και ναι μεν καταλαβαίνω ότι μιά κυματομορφή αναλύεται (κατά Fourier) σε πλήθος από ημιτονικές μορφές, αλλά η έννοια και ο τρόπος του μετασχηματισμού παραμένει μυστήριο για μένα. ‘Οσο για τον Laplace και την Laplaciene στην μηχανική καμία ιδέα δεν έχω… ‘Εδώ σε θέλω. Μπορείς να μας κάνεις κι ένα (απλοποιημένο) μάθημα γι’ αυτά;

    Σχόλιο από heliotypon | Απρίλιος 18, 2010

  8. επειδη πρεπει να χρησιμοποιησω conformal mapping, για να λυσω διαφορα φυσικα προβληματα, πρεπει να πω οτι οι μιγαδικοι αριθμοι εκπεμπουνε ενα ειδος ελιτισμου,

    Σχόλιο από Giannis | Αύγουστος 31, 2010

  9. @ heliotypon,

    δυστυχώς δεν έχω το χρόνο αλλά είναι μια ενδιαφέρουσα ίντριγκα ένα απλοποιημένο μάθημα πάνω σ’ αυτό. Βέβαια τί απαντάω τόσους μήνες μετά θα μου πεις..
    Ελπίζω να βρω το χρόνο να ολοκληρώσω τους γτ των μιγαδικών και μετά γιατί όχι….

    Σχόλιο από mathsforall | Σεπτεμβρίου 2, 2010

  10. @ Giannis,

    Μα ναι… είναι γιατί έβαλε το χεράκι του ο Ρίμαν με την περίφημη συνάρτηση ζ, οπότε ο ελιτισμός είναι δεδομένος.
    Χρησιμοποιείς και Ιακωβιανές ασφαλώς έτσι;

    Σχόλιο από mathsforall | Σεπτεμβρίου 2, 2010

  11. giati stamatises na grafeis?? ta arthra sou einai katanoita kai wraia …

    Σχόλιο από George Akalyptos | Οκτώβριος 23, 2011

  12. @ George Akalyptos, έλλειψη χρόνου δυστυχώς

    Σχόλιο από mathsforall | Ιουνίου 8, 2013


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: