Ιστορικό σημείωμα/1

Ο «διπλασιασμόςτου τετραγώνου» δηλαδή η κατασκευή ενός τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός άλλου δοθέντος τετραγώνου , μπορεί να γίνει με μια απλή «γεωμετρική κατασκευή», δηλαδή με κανόνα και διαβήτη

Ωστόσο η πλευρά  β , του τετραγώνου με το διπλάσιο εμβαδό δεν προκύπτει από την πλευρά α με πολλαπλασιασμό επί  ρητό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα ( ως μονάδα μέτρησης ) με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς τα δύο αυτά τμήματα , πλευρά και διαγώνιο τετραγώνου.

Δηλαδή με απλά λόγια: το εμαβαδόν τετραγώνου πλευράς α , δίνεται από τη σχέση Ε=α↑2, δηλαδή ένα τετράγωνο με πλευρά α=2 cm, θα έχει εμβαδό Ε= 2*2 = 4 cm↑2.

H διαπίστωση είναι ότι αν θέλουμε ένα τετράγωνο με Ε= 8 cm↑2, αυτό δεν θα μας προκύψει αν πάρουμε το προηγούμενο τετράγωνο με την πλευρά των 2 cm και διπλασιάσουμε την πλευρά του, γιατί σε περίπτωση που το κάνουμε αυτό το τετράγωνο που θα προκύψει θα είναι εμβαδού 16 cm↑2

Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων.

Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι πάντοτε δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν κοινό μέτρο. Γι’ αυτό στα πλαίσια της εποχής εκείνης , η ανακάλυψη αυτή των Πυθαγορείων δεν ήταν απλά και μόνο μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόταση αλλά εσήμαινε την ανατροπή θεμελιωδών φιλοσοφικών αντιλήψεων για τον κόσμο και τη φύση.

Ήταν κεντρική αντίληψη των Πυθαγορείων ότι η ουσία κάθε όντος μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς.  Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος έγραψε: Πραγματικά το κάθε τι που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό. Αλλοιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το Ένα είναι η αρχή του παντός.

Η ανακάλυψη λοιπόν ότι υπάρχουν μεγέθη και μάλιστα απλά όπως η υποτείνουσα τετραγώνουν τα οποία δεν μπορούν να εκφραστούν στα πλαίσια των φυσικών αριθμών , θεωρήθηκε αληθινή συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία.

Χαρακτηριστικά αναφέρεται , ότι η ανακάλυψη αυτή έγινε από τον Πυθαγόρειο Ίππασο όταν οι υπόλοιποι Πυθαγόρειοι ταξίδευαν με πλοίο.  Η αντίδραση των Πυθαγορείων ήταν ν απνίξουν τον Ίππασο και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μη διαδοθεί η ανακάλυψη προς τα έξω.

Η υπέρβαση των δυσκολιών που φέρνει στα μαθηματικά η ύπαρξη άρρητων αριθμών κατέστη δυνατή από τον Εύδοξο με την ιδιοφυή θεωρία των  «Λόγων»

Η απόδειξη ότι ένας αριθμός είναι άρρητος είνα ένα πρόβλημα που πολλές φορές απαιτεί πολύπλοκους συλλογισμούς.

Μια απόδειξη όμως για το γεγονός ότι ο √2 είναι άρρητος γίνεται με την μέθοδο της «απαγωγής σε άτοπο»

Έστω ότι ο √2 είναι ρητός, τότε √2=κ/λ , όπου κ και λ είναι φυσικοί αριθμοί και το κ/λ είναι ανάγωγο κλάσμα ( έχουν γίνει δηλαδή όλες οι δυνατές απλοποιήσεις )

Τότε θα ισχύει √2= κ/λ ↔

(√2)↑2 = (κ/λ)↑2

↔2 = κ↑2/λ↑2

↔κ↑2=2*λ↑2 που  που σημαίνει ότι ο κ↑2 είναι άρτιος.

Αν όμως ο κ↑2 είναι άρτιος ↔ υπάρχει μοναδικός φυσικός μ τέτοιος ώστε:

(2*μ)↑2 = 2*λ↑2 ↔ 4*μ↑2=2*λ↑2  ↔ λ↑2=2*μ↑2

που σημαίνει ότι και ο λ↑2 είναι άρτιος, άρα και ο λ είναι άρτιος.

Αφού λοιπόν καταλήγουμε ότι οι κ και λ είναι άρτιοι, τότε το κλάσμα κ/λ δεν είναι ανάγωγο. Αυτό το τελευταίο είναι άτοπο.

Γενικά αποδεικνύεται ο √ν είναι άρρητος αριθμός, όταν ο ν δεν είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού.

ΥΓ Πραγματικά ο WordPress editor έχει δυνατότητες αλλά ας έβαζε και τη συνεπαγωγή για να μη χρησιμοποιώ το ↔, στη θέση της